Александр Кнышов родился 7 июня 1973 года. С отличием окончил Кубанский государственный аграрный университет по специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит».
С 1997 года работал на разных должностях в Управлении федерального казначейства по Краснодарскому краю. С 2002 года перешел на службу в региональный минфин. С 2010 работал в министерстве труда и социального развития Краснодарского края. В 2016 году Александр Кнышов занял пост заместителя министра финансов Кубани.
Занимавший до этого пост министра финансов региона – Сергей Максименко – уволен по собственному желанию.