Анна Минькова родилась 23 февраля 1978 года в посёлке Тлюстенхабль Теучежского района Адыгеи. Получила диплом журналиста в Кубанском государственном университете. Её профессиональный путь начался в 1999 году на ГТРК «Кубань», где она работала корреспондентом.
В дальнейшем карьера развивалась последовательно:
с 2004 года — советник главы администрации Краснодарского края;
2005–2006 годы — заместитель начальника управления по связям с общественностью администрации Краснодара;
2006–2011 годы — первый заместитель директора ГУП КК «Телерадиокомпания „НТК“»;
с марта 2011 года — начальник управления информационной политики администрации Краснодарского края;
с июля 2014 года — директор «Девятого канала», позднее переименованного в «Кубань 24»;
с апреля 2015 года — вице‑губернатор Краснодарского края по социальным вопросам.
Анна Минькова воспитывает четырёх детей, сообщила пресс-служба краевой администрации.

С 28 октября 2025 года Анна Минькова заняла пост генерального директора медиагруппы «Кубань 24». Накануне, 27 октября, она объявила о сложении полномочий вице‑губернатора Краснодарского края по социальным вопросам.