Ранее Александр Тарарыкин занимал различные посты в структуре Министерства по чрезвычайным ситуациям Российской Федерации по Московской области.
В 2005 году он перешёл в Министерство по чрезвычайным ситуациям Российской Федерации по Краснодарскому краю. В 2011 году он возглавил Центр управления в кризисных ситуациях Главного управления МЧС России по Краснодарскому краю, а через два года стал заместителем начальника Главного управления МЧС России по Краснодарскому краю. В 2017–2019 годах он возглавлял это ведомство.
С 2019 по 2024 год Александр Тарарыкин руководил Уральским институтом Государственной противопожарной службы МЧС России.
Александр Тарарыкин имеет звание генерал-майора внутренней службы и является кандидатом технических наук. Он был награждён медалью «За спасение погибавших», а также почётной грамотой и благодарственным письмом президента Российской Федерации.